Можно ли председателю представительного органа муниципального образования работать на полставки установленной по этой должности зарплаты? 

Нет, нельзя. Дело в том, что между председателем представительного органа муниципального образования и самим этим органом нет трудовых отношений. Трудовой договор — это соглашение между работодателем и работником. В рамках этого соглашения работодатель обязуется предоставить работнику работу по установленной трудовой функции, обеспечить надлежащие, нормативно обусловленные условия труда и своевременно выплачивать заработную плату. Работник обязуется лично выполнять определенную работодателем трудовую функцию и соблюдать правила трудового распорядка, то есть вовремя приходить и уходить с работы, в установленное время обедать, не нарушать трудовую дисциплину.

Отношения председателя представительного органа и самого представительного органа, то есть корпуса муниципальных депутатов, иные. Он не наемный работник. Его правовой статус обусловлен фактором избрания депутатом, а затем решением депутатов избрать на должность председателя представительного органа для работы на постоянной (профессиональной) основе. Согласно Федеральному закону от 6 октября 2003 г. № 131-ФЗ «Об основных принципах организации местного самоуправления в Российской Федерации» (ч. 3 ст. 40) на постоянной основе могут работать не более 10 процентов депутатов от установленной численности представительного органа муниципального образования. Так, при численности двадцать депутатов только два депутата могут работать на постоянной основе. Как правило, это председатель совета депутатов и один его заместитель.